Question

19．已知直线y=ax+b与曲线y=e^x相切，则ab的最大值是（　　）

• A． $\frac{e}{2}$
• B． e
• C． $\frac{\sqrt{e}}{2}$
• D． $\sqrt{e}$

Answer 1

分析 设直线y=ax+b与曲线y=e^x相切于M（m，e^m），求出函数的导数，求得切线的斜率，由切点在直线上，可得ab=a²（1-lna），由f（a）=a²（1-lna），求出导数和单调区间，可得极大值，且为最大值．

解答 解：设直线y=ax+b与曲线y=e^x相切于M（m，e^m），
由y=e^x导数为y′=e^x，
可得切线的斜率为e^m=a，即m=lna，
又am+b=e^m，可得b=e^m-me^m=a（1-lna），
ab=a²（1-lna），由f（a）=a²（1-lna），
f′（a）=a（1-2lna），a＞0，
当x＞$\sqrt{e}$时，f′（a）＜0，f（a）递减；
当0＜x＜$\sqrt{e}$时，f′（a）＞0，f（a）递增．
即有f（a）在x=$\sqrt{e}$处取得极大值，且为最大值$\frac{1}{2}$e．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查构造函数和化简整理的运算能力，属于中档题．