Question

判断下列命题的真假：
（1）如果一个幂函数不是偶函数，那么它一定是奇函数；
（2）幂函数的图象不可能在第四象限；
（3）幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点；
（4）当a=0时，函数y=x^a的图象是一条直线；
（5）若f（x）=x⁴是奇函数，则他在定义域内单调递增；
（6）如果一个幂函数是奇函数，则它的图象一定经过原点；
（7）任何两个幂函数的图象最多有三个交点；
（8）指数函数图象都经过（0，1）点；
（9）指数函数y=a^x（a＞0且a≠1）中，若a＞1，则x＜0时，y＞1；
（10）指数函数y=4^x与y=-4^x关于y轴对称；
（11）函数f（x）=

1

2x+1

在（-∞，+∞）上单调递减无最大值；
（12）若0＜a＜1，b＜-1，则函数f（x）=a^x+b的图象不经过第一象限．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用幂函数的概念、图象与性质及指数函数的图象与性质，对这12个命题逐一分析判断即可．

解答： 解：对于（1），如果一个幂函数不是偶函数，那么它一定是奇函数，错误，如y=

x

为非奇非偶函数；
对于（2），当x＞0时，x^α＞0，故幂函数y=x^α的图象不可能在第四象限，正确；
对于（3），幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点，正确；
对于（4），因为y=x⁰的图象不经过原点，所以当a=0时，函数y=x^a的图象不是一条直线，故（4）错误，；
对于（5），f（x）=x⁴是偶函数，在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，故（5）错误；
对于（6），如y=

1

x

为奇函数，但它的图象不经过原点，故（6）错误；
对于（7），任何两个幂函数的图象最多有三个交点，如y=x与y=x³有三个交点（为最多），故（7）正确；
对于（8），指数函数y=a^x（a＞0且a≠1）中，当x=0时，y=1，即其图象都经过（0，1）点，故（8）正确；
对于（9），指数函数y=a^x（a＞0且a≠1）中，若a＞1，则x＜0时，0＜y＜1，故（9）错误；
对于（10），指数函数y=4^x与y=-4^x关于x轴对称，故（10）错误；
对于（11），由于y=2^x+1为R上的增函数，因此函数f（x）=

1

2x+1

在（-∞，+∞）上单调递减无最大值，故（11）正确；
对于（12），当0＜a＜1时，函数y=a^x+的图象过定点（0，1），且为减函数，所以，当b＜-1时，函数f（x）=a^x+b的图象不经过第一象限，故（12）正确．

点评：本题考查幂函数的概念、图象与性质及指数函数的图象与性质，熟练掌握幂函数与指数函数的图象与性质是关键，属于中档题．