Question

3．设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线$\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=1的离心率互为倒数，且长轴长为4．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）在椭圆C₁落在第一象限的图象上任取一点作C₁的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由长轴长可得a=2，则椭圆的方程可求；
（2）由题意设出切线方程y=kx+m（k＜0），和椭圆方程联立后由方程仅有一个实根得到方程的判别式等于0，即得到k与m的关系，求出直线在x轴和y轴上的截距，代入三角形的面积公式后化为含有k的代数式，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）由双曲线$\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=1的离心率为$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，
可得e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由题意可得2a=4，即a=2，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
可得椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由l与椭圆C₁相切于第一象限内的一点，
可得直线l的斜率必存在且为负，
设直线l的方程为：y=kx+m（k＜0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y整理可得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
根据题意可得方程只有一实根，
则△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=0，
整理可得：m²=4k²+1，
由直线l与两坐标轴的交点分别为（-$\frac{m}{k}$，0），（0，m）且k＜0，
则l与坐标轴围成的三角形的面积S=$\frac{1}{2}$•$\frac{{m}^{2}}{-k}$=（-2k）+$\frac{1}{-2k}$≥2$\sqrt{（-2k）•\frac{1}{-2k}}$=2，（当且仅当k=-$\frac{1}{2}$时取等号），
则围成的三角形的面积的最小值为2．

点评 本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线相切的条件，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．