Question

2．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB，
（1）在AE上是否存在一点F，使得直线DF∥面BCE，若存在求请给出点F的位置；
（2）点G是三角形ABE的重心，$CD=\sqrt{2}$，试求三棱锥E-ADG的体积．

Answer 1

分析 （1）设点F为AE中点，取AB中点M，连结MF、MD、FD，推导出面DMF∥面BCE，从而求出在AE上存在一点F，使得直线DF∥面BCE，且点FAE的中点．
（2）三棱锥E-ADG的体积V_A-ADG=V_D-AEG，由此能求出结果．

解答 解：（1）设点F为AE中点，取AB中点M，连结MF、MD、FD，
∵AB=2CD=2BC，∴M是AB的中点，
∴MF∥BE，DM∥BC，
∵BC∩BE=B，MF∩DM=M，
BC，BE?平面BCE，MF，DM?平面DMF，
∴面DMF∥面BCE，
∵DF?平面DMF，∴直线DF∥面BCE．
∴在AE上存在一点F，使得直线DF∥面BCE，且点FAE的中点．
（2）∵直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，
AB=2CD=2BC，EA⊥EB，点G是三角形ABE的重心，$CD=\sqrt{2}$，
∴点G在EM上，且EG=2MG=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$，
且DM⊥AB，EM⊥AB，∴EM⊥平面ABCD，∴DM⊥EM，
∴点D到平面AEG的距离DM=BC=$\sqrt{2}$，S_△AEG=$\frac{2}{3}{S}_{△AEM}$=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}）$=$\frac{2}{3}$，
∴三棱锥E-ADG的体积：
V_A-ADG=V_D-AEG=$\frac{1}{3}×DM×{S}_{△AGE}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{9}$．

点评 本题考查使线面平行的点的位置的确定，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．