Question

10．已知函数f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$．
（1）求f[f（2）]的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．

Answer 1

分析 （1）代入求值即可；
（2）用定义法，先看定义域是否关于原点对称，再研究f（-x）与f（x）的关系．若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数．

解答 解：（1）∵f（2）=$\frac{2×2}{{2}^{2}-1}$=$\frac{4}{3}$，
∴f[f（2）]=$\frac{2×\frac{4}{3}}{（\frac{4}{3}）^{2}-1}$=$\frac{24}{7}$；
（2）f（x）是奇函数．理由如下：
∵f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$的定义域是x≠±1．
又f（-x）=$\frac{-2x}{（-x）^{2}-1}$=-$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$，即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，函数的值．证明函数的寄偶性时，一般用定义．