Question

对于函数f（x）=4^x-m•2^x+1，若存在实数x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件可得到(2-x0+2x0)2-2m(2-x0+2x0)-2=0，所以可想着设2-x0+2x0=t，t≥2，带入上式即可得到m=

1

2

t-

1

t

，而根据单调性的定义即可判断出函数

1

2

t-

1

t

在[2，+∞）上是增函数，求其值域从而得到m≥

1

2

．

解答： 解：由f（-x₀）=-f（x₀）得：4-x0-m•2-x0=-(4x0-m•2x0+1)；
可整理成(2-x0+2x0)2-2m(2-x0+2x0)-2=0；
设2-x0+2x0=t，t≥2；
∴t²-2mt-2=0；
∴m=

1

2

t-

1

t

，根据单调性的定义可知该函数在[2，+∞）上是增函数；
∴m≥

1

2

；
∴实数m的取值范围是[

1

2

，+∞）．
故答案为：[

1

2

，+∞)．

点评：考查完全平方式的运用，换元解决问题的办法，基本不等式的运用，根据单调性的定义判断函数的单调性，也可对函数

1

2

t-

1

t

求导，根据导数的符号判断其单调性，根据单调性求函数的值域．