Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=$\frac{π}{3}$，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，M为PA的中点，N为BC的中点
（1）证明：直线MN∥平面PCD；
（2）求异面直线AB与MD所成角的余弦值；
（3）求点B到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点Q，连接QM，QC．利用三角形中位线定理与平行四边形的判定与性质定理可得NM∥QC，再利用线面平行的判定定理即可判断出结论．
（2）由CD∥AB，可得∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角），在△MDC中利用余弦定理即可得出．
（3）由AB∥平面PCD，可得点A和点B到平面PCD的距离相等．取CD的中点E，连接AE，PE，过A作AH⊥PE，垂足为H．在△PAE中，利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 （1）证明：取PD的中点Q，连接QM，QC．
∵QM∥AD，AD∥CN，∴MQ∥CN，又MQ=CN=$\frac{1}{2}$AD．
∴四边形MNCQ是平行四边形．
∴NM∥QC，又MN?平面PCD，CQ?平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
（2）解：∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）．
∵∠ABC=$\frac{π}{3}$，∴AC=CD=AD=2，
∵PA⊥平面ABCD，∴MA⊥AC，MA⊥AD．
又MA=1，AC=AD=2，MC=MD=$\sqrt{5}$．
CD=2，∴cos∠MDC=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}{2×\sqrt{5}×2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴AB与MD所成角余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（3）解：∵AB∥平面PCD，∴点A和点B到平面PCD的距离相等．
取CD的中点E，连接AE，PE，过A作AH⊥PE，垂足为H．
∠ABC=$\frac{π}{3}$，∴AC=CD=AD，∴AE⊥CD．
∵PA⊥平面ABCD，PA⊥CD，∴CD⊥平面PAE，∴CD⊥PA．
∵CD⊥平面PAE，∴CD⊥AH，∴AH⊥平面PCD，
∴AH即为点B到平面PCD的距离．
∵PA=2，AE=$\sqrt{3}$，PA⊥AE，∴AH=$\frac{PA×AE}{\sqrt{P{A}^{2}+A{E}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、菱形的性质、线面平行与垂直的判定定理与性质定理、异面直线所成的角、余弦定理、点到平面的距离、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．