Question

2．已知函数f（x）=$\frac{2x-1}{x}$．
①判断函数f（x）的奇偶性；
②判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；
③若x∈[3，5]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 ①由已知中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义，可判断函数f（x）的奇偶性；
②求导，根据当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
③由②可得x∈[3，5]时，函数为增函数，进而求出函数的最值，可得函数的值域．

解答 解：①∵函数f（x）=$\frac{2x-1}{x}$的定义域{x|x≠0}关于原点对称，
但f（-x）=$\frac{-2x-1}{-x}$=2+$\frac{1}{x}$，
与f（x）=$\frac{2x-1}{x}$=2-$\frac{1}{x}$，
即不恒相等，也不恒相反，
故函数f（x）为非奇非偶函数；
②函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，理由如下：
∵f（x）=$\frac{2x-1}{x}$=2-$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
③由②可得x∈[3，5]时，函数为增函数，
故当x=3时，函数有最小值$\frac{5}{3}$，当x=5时，函数有最大值$\frac{9}{5}$，
故x∈[3，5]时，f（x）的值域为[$\frac{5}{3}$，$\frac{9}{5}$]

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，难度中档．