题目内容
某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队进入点球大战．假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为
．现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求：（I）乙队以4：3点球取胜的概率有多大？
（II）设点球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望．
【答案】分析：（I）根据相互独立事件的概率公式以及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式进行求解即可；
（II）点球中乙队得分为随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，5，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．
解答：解：（I）乙队以4：3点球取胜的概率为P=
=25×
=0.1043
（II）点球中乙队得分为随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，5
P（ξ=0）=
=
，P（ξ=1）=
=
，P（ξ=2）=
=
P（ξ=3）=
=
，P（ξ=3）=
=
，P（ξ=5）=
=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
+5×
=3.75
点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望和分布列，以及二项分布与n次独立重复试验的模型，同时考查了计算能力，属于中档题．
（II）点球中乙队得分为随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，5，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．
解答：解：（I）乙队以4：3点球取胜的概率为P=
=25×
=0.1043（II）点球中乙队得分为随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，5
P（ξ=0）=
=
，P（ξ=1）=
=
，P（ξ=2）=
=
P（ξ=3）=
=
，P（ξ=3）=
=
，P（ξ=5）=
=
∴ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P |  |  |  |  |  |  |
+1×
+2×
+3×
+4×
+5×
=3.75点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望和分布列，以及二项分布与n次独立重复试验的模型，同时考查了计算能力，属于中档题．
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