Question

以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间.例如，当，时，，.现有如下命题：

①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；

②函数的充要条件是有最大值和最小值；

③若函数，的定义域相同，且，，则；

④若函数（，）有最大值，则.

其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）

 

Answer 1

①③④

【解析】

试题分析：若f（x）∈A，则f（x）的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f（a）＝b，故①正确．

取函数f（x）＝x（－1＜x＜1），其值域为（－1，1），于是，存在M＝1，使得f（x）的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f（x）没有最大值和最小值，故②错误．

当f（x）∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f（a）＝b，所以，当g（x）∈B时，对于函数f（x）＋g（x），如果存在一个正数M，使得f（x）＋g（x）的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f（a0）＝b－g（a0），即f（a0）＋g（a0）＝b0∉[－M，M]，故③正确．

对于f（x）＝aln（x＋2）＋ （x＞－2），当a＞0或a＜0时，函数f（x）都没有最大值．要使得函数f（x）有最大值，只有a＝0，此时f（x）＝ （x＞－2）．

易知f（x）∈[－]，所以存在正数M＝，使得f（x）∈[－M，M]，故④正确．

考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．