Question

12．如图，在△ABC中，|AB|=4，点E为AB的中点，点D为线段AB垂直平分线上的一点，且|DE|=3，固定边AB，在平面ABD内移动顶点C，使得△ABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点，且C、D在直线AB的同侧，在移动过程中，当|CA|+|CD|取得最小值时，点C到直线DE的距离为$2\sqrt{15}-6$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，以AB所在直线为x轴，ED所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线的性质求得C的轨迹为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x＞0），再利用双曲线定义把|CA|+|CD|取得最小值转化为|CB|+|CD|取最小值，可得C的位置，写出BD所在直线方程，联立直线方程与双曲线方程求得C的坐标得答案．

解答 解：如图，以AB所在直线为x轴，ED所在直线为y轴建立平面直角坐标系
则A（-2，0），B（2，0），D（0，3），
设△ABC的内切圆切AC、AB、BC分别于G、H、F，
则|CA|-|CB|=|AG|-|BF|=|AH|-|HB|=2＜4，
∴C点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，
且a=1，c=2，b²=c²-a²=3，
∴C的轨迹方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x＞0）．
∵|CA|-|CB|=2，
∴|CA|=|CB|+2，
则|CA|+|CD|=|CB|+|CD|+2，
则当C为线段BD与双曲线右支的交点时，|CA|+|CD|最小，
BD所在直线方程为$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$，即3x+2y-6=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y-6=0}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得${x}_{C}=2\sqrt{15}-6$．
∴点C到直线DE的距离为$2\sqrt{15}-6$．
故答案为：$2\sqrt{15}-6$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．