Question

1．已知关于x的不等式|x-a|≤b的解集为{x|-1≤x≤3}．
（1）求a，b的值；
（2）若（y-a）（y-b）＜0，求z=$\frac{1}{y-a}$+$\frac{1}{b-y}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）解绝对值不等式求得不等式|x-a|≤b的解集，再根据不等式|x-a|≤b的解集为{x|-1≤x≤3}，求得a，b的值．
（2）把要求的式子变形，再利用基本不等式，求得z的最小值．

解答 解：（1）由题意可得b＞0，
由不等式|x-a|≤b，可得-b≤x-a≤b，
∴a-b≤x≤a+b．
再根据不等式|x-a|≤b的解集为{x|-1≤x≤3}，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-1}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
（2）由（1）知（y-1）（y-2）＜0，
∴1＜y＜2．
z=$\frac{1}{y-a}$+$\frac{1}{b-y}$=（$\frac{1}{y-1}$+$\frac{1}{2-y}$）•[（y-1）+（2-y）]=2+$\frac{2-y}{y-1}$+$\frac{y-1}{2-y}$，
∵1＜y＜2，
∴y-1＞0，2-y＞0，
∴z≥2+2$\sqrt{1}$=4，
当且仅当 $\frac{2-y}{y-1}$=$\frac{y-1}{2-y}$，即 y=$\frac{3}{2}$时，等号成立，
此时，z取得最小值4．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于基础题．