Question

5．已知椭圆C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线l：y=kx+$\sqrt{3}$过C的一个焦点F，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆上的两点，$\overrightarrow{m}$=（$\frac{{x}_{1}}{b}$，$\frac{{y}_{1}}{a}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{{x}_{2}}{b}$，$\frac{{y}_{2}}{a}$）且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线l：y=kx+$\sqrt{3}$过C的一个焦点F，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当直线AB斜率不存在时，求出三角形的面积为定值1；当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b，与椭圆联立，得（k²+4）x²+2kbx+b²-4=0，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式，结合椭圆性质能求出三角形的面积为定值1．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线l：y=kx+$\sqrt{3}$过C的一个焦点F，O为坐标原点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{c=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）①当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
由$\overrightarrow{m}$=（$\frac{{x}_{1}}{b}$，$\frac{{y}_{1}}{a}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{{x}_{2}}{b}$，$\frac{{y}_{2}}{a}$）且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
得则y₁²=4x₁²，又A（x₁，y₁）在椭圆上，∴x₁²+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=1，
∴|x₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，|y₁|=$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|x₁|•2|y₁|=1，
∴三角形的面积为定值1；
②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}}\end{array}\right.=1$，可得（k²+4）x²+2kbx+b²-4=0，
得到x₁+x₂=-$\frac{2kb}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$，
∵4x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（k²+4x₁x₂+kb（x₁+x₂+b²=0，
∴（k²+4×$\frac{{b}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$）+kb（-$\frac{2kb}{{k}^{2}+4}$）+b²=0，
∴2b²-k²=4，
∴S=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$|AB|=$\frac{1}{2}$|b|$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{|b|\sqrt{4{k}^{2}-4{b}^{2}+16}}{{k}^{2}+4}$=1，
∴三角形的面积为定值1．
综上，三角形的面积为定值1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角面积是否为定值的判断与求解，是中档题，解题时要认真审题，注意