Question

已知函数，（且为常数）．

（Ⅰ）若曲线在处的切线过点，求实数的值；

（Ⅱ）若存在实数，，使得成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）判断函数在上的零点个数，并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）=，

又曲线在处的切线过点,得，   …3分

即，解得            …………………………………………4分

（Ⅱ）存在实数，，使得成立，

即                 ………………………………5分

由（Ⅰ）知在上的解为 ，

函数在 上递增，在上递减

                  …………………………………7分

又恒成立，在上递增，

，                 ……………………………8分

故，得，

所以实数的取值范围是               ………………………………9分

（Ⅲ）由 得

，化为，    ……10分

令，则

由，得，

故在上递增，在上递减，

.            …………………………………………12分

再令，

因为，所以函数在上递增，

.      …………………………13分

知，由此判断函数在上没有零点，

故零点个数为0.                                   ………………14分