Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA垂直底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．
（1）求证：AM∥平面SCD；
（2）设点N是CD上的中点，求三棱锥N-BCM的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取SC的中点P，连接MP，DP．证明MP∥BC，推出AM∥DP，利用直线与平面平行的判定定理证明AM∥平面SCD；
（2）判断V_N-BCM=V_M-BCN，取AB的中点Q，连接QM．证明MQ⊥平面ABCD，求出棱锥的底面面积与高然后求解体积．

解答： 解：（1）证明：如图，取SC的中点P，连接MP，DP．由题设条件易知AD∥BC，且AD=

1

2

BC，而MP为三角形SBC的中位线，所以MP∥BC，且MP=

1

2

BC，所以MP∥AD，且MP=AD即四边形ADPM为平行四边形，所以AM∥DP，
又DP?平面SCD，所以AM∥平面SCD；
（2）显然V_N-BCM=V_M-BCN，
取AB的中点Q，连接QM．
易知MQ∥SA，且MQ=

1

2

SA=1，
又已知侧棱垂直底面，
所以MQ⊥平面ABCD
在直角梯形ABCD中，可求S△BCN=

1

2

×2×1=1，
所以VN-BCM=VM-BCN=

1

3

•S△BCN•MQ=

1

3

×1×1=

1

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．