题目内容
15．在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使${A}{E}=\frac{1}{3}{A}{B}$，${A}F=\frac{1}{4}{A}D$，连接EF交对角线AC于G，则$\frac{{{A}G}}{{{A}C}}$的值是$\frac{1}{7}$．分析 根据题意在AD上截取AH=$\frac{3}{4}$AD，得到AG与OC的关系，然后由相似三角形得到OC与AO的关系，代入$\frac{AG}{AC}$求出比值．
解答 
解：如图，在AD上取点H，使AH=$\frac{3}{4}$AD，连接BH交AC于O，
则$\frac{AG}{AO}$=$\frac{1}{3}$，即AG=$\frac{1}{3}$AO，
又△AOH∽△COB，所以$\frac{AO}{CO}=\frac{AH}{CB}$=$\frac{3}{4}$，CO=$\frac{4}{3}$AO，
所以$\frac{AG}{AC}$=$\frac{AG}{AO+CO}$=$\frac{1}{7}$．
故答案为：$\frac{1}{7}$．
点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，正确运用三角形相似的判定与性质是关键．
练习册系列答案
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3．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为$\frac{4}{15}$．
（1）请将上面的列联表补充完整．是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．
（2）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生（其中有2名女生）中，抽取2人参加电视节目，则正好抽到1男1女的概率是多少？
（3）现从常喝碳酸饮料的学生中抽取3人参加电视节目，记ξ表示常喝碳酸饮料且肥胖的学生人数，求ξ的分布列及数学期望．
参考数据：
参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
| 常喝 | 不常喝 | 合计 | |
| 肥胖 | 6 | 2 | 8 |
| 不肥胖 | 4 | 18 | 22 |
| 合计 | 10 | 20 | 30 |
（2）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生（其中有2名女生）中，抽取2人参加电视节目，则正好抽到1男1女的概率是多少？
（3）现从常喝碳酸饮料的学生中抽取3人参加电视节目，记ξ表示常喝碳酸饮料且肥胖的学生人数，求ξ的分布列及数学期望．
参考数据：
| P（K2≥k0） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
7．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率．
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$．
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率．
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
| P（X2≥k） | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
AC是圆O的直径，BD是圆O在点C处的切线，AB、AD分别与圆O相交于E，F，EF与AC相交于M，N是CD中点，AC=4，BC=2，CD=8