Question

首项为a₁的等比数列{a_n}的前n项和的极限为

1

3

，则首项a₁的取值范围是

(0，

1

3

)∪(

1

3

，

2

3

)

．

Answer 1

分析：题意可得

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

=

1

3

，且-1＜q＜1且q≠0，根据q的范围可求首项a₁的范围

解答：解：设等边数列的公比为q，由数列存在极限可得-1＜q＜1且q≠0
根据题意可得

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

=

1

3

，
∴a1=

1

3

(1-q)
∵-1＜q＜1且q≠0
∴0＜1-q＜2且1-q≠1
∴0＜a1＜

1

3

或

1

3

＜a1＜

2

3

故答案为：(0，

1

3

)∪(

1

3

，

2

3

)

点评：本题主要考查了等边数列的和的极限的存在条件的应用，要注意，解题中容易漏掉q≠0的条件．