Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，0≤x＜4}\\{lo{g}_{2}（x+4），4≤x≤12}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，当0≤x₁＜4≤x₂≤12时，f（x₁）=f（x₂），则x₁f（x₂）的最大值是$\frac{256}{27}$．

Answer 1

分析 由题意作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，0≤x＜4}\\{lo{g}_{2}（x+4），4≤x≤12}\end{array}\right.$的图象，从而可得1≤x₁≤3，x₁f（x₂）=-x₁³+4${{x}_{1}}^{2}$，记g（x₁）=-x₁³+4${{x}_{1}}^{2}$，则g′（x₁）=-3${{x}_{1}}^{2}$+8x₁=-3x₁（3x₁-8），从而判断函数的单调性及最值，从而求得．

解答 解：由题意作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，0≤x＜4}\\{lo{g}_{2}（x+4），4≤x≤12}\end{array}\right.$的图象如下，

结合图象可知，
3≤-${{x}_{1}}^{2}$+4x₁≤4，
解得，1≤x₁≤3，
故x₁f（x₂）=x₁f（x₁）
=x₁（-${{x}_{1}}^{2}$+4x₁）=-x₁³+4${{x}_{1}}^{2}$，
记g（x₁）=-x₁³+4${{x}_{1}}^{2}$，g′（x₁）=-3${{x}_{1}}^{2}$+8x₁=-3x₁（3x₁-8），
故g（x₁）在[1，$\frac{8}{3}$]上是增函数，在（$\frac{8}{3}$，3]上是减函数，
故x₁f（x₂）的最大值是g（$\frac{8}{3}$）=$\frac{256}{27}$，
故答案为：$\frac{256}{27}$．

点评 本题考查了数形结合与转化思想的方法应用，同时考查了导数的综合应用．