Question

16．运行如图的程序，如果输入的m，n的值分别是24和15，记录输出的i和m的值．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（i-4，m），圆C的圆心在直线l：y=2x-4上．
（1）若圆C的半径为1，且圆心C在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使∠OMA=90°，求圆C的半径r的最小值．

Answer 1

分析 根据题意可得，i=4，m=3，即A（0，3），
（1）联立$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$得圆心C为（3，2），则圆C的方程为：（x-3）²+（y-2）²=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，由点到直线的距离公式，可得到k的值，则所求圆C的切线方程可求；
（2）依题意，点M在以OA为直径的圆上，其圆心为D$（0，\frac{3}{2}）$，半径为$\frac{3}{2}$，点M也在圆C上，得到点M是圆D和圆C的公共点，又圆C的圆心在直线l：y=2x-4上，要使圆C的半径最小，只须过点D作直线l的垂线，以垂足为圆心C并与圆D外切时的圆C的半径r最小，由点D到直线l的距离即可得圆C的半径r最小值．

解答 解：根据题意可得，i=4，m=3，∴A（0，3）．…（2分）
（1）由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$得圆心C为（3，2），
∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为：（x-3）²+（y-2）²=1．
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，
则$\frac{{|{3k-2+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，即$|{3k+1}|=\sqrt{{k^2}+1}$，∴2k（4k+3）=0
∴k=0或者$k=-\frac{3}{4}$，
∴所求圆C的切线方程为：y=3或者$y=-\frac{3}{4}x+3$，
即y=3或者3x+4y-12=0．…（7分）
（2）依题意，点M在以OA为直径的圆上，其圆心为D$（0，\frac{3}{2}）$，半径为$\frac{3}{2}$，
点M也在圆C上，∴点M是圆D和圆C的公共点，
又圆C的圆心在直线l：y=2x-4上，∴要使圆C的半径最小，只须过点D作直线l的垂线，以垂足为圆心C并与圆D外切时的圆C的半径r最小，
∵点D到直线l的距离d=$\frac{{|2•0-\frac{3}{2}-4|}}{{\sqrt{{2^2}+{1^1}}}}=\frac{{11\sqrt{5}}}{10}$，
∴圆C的半径r最小值为$\frac{{11\sqrt{5}}}{10}-\frac{3}{2}=\frac{{11\sqrt{5}-15}}{10}$．…（12分）

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的切线方程的求法以及点到直线的距离公式，是中档题．