Question

8．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），满足f（x₀）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x₀而是它的一个均值点．
例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：
①函数f（x）=sinx-1是[-π，π]上的“平均值函数”；
②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，则它的均值点x₀≤$\frac{a+b}{2}$；
③若函数f（x）=x²+mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m∈（-2，0）；
④若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x₀是它的一个均值点，则lnx₀＜$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$．
其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析 直接利用定义判断①；利用反例判断②；利用定义推出m的范围判断③；利用分析法直接证明结合函数的导数判断④．

解答 解：①∵$\frac{f（π）-f（-π）}{2π}$=0，而f（$\frac{π}{2}$）=0，
∴f（x）=sinx-1是[-π，π]上的“平均值函数”，故①正确；
②若f（x）=0，则$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$=0，显然（a，b）上的任意1个数都是f（x）的均值点，故②错误；
③若函数f（x）=x²+mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，
则区间（-1，1）上存在x₀使得f（x₀）=$\frac{f（1）-f（-1）}{2}$=m，
即x₀²+mx₀-1=m，∴m=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-1}{1-{x}_{0}}$=-x₀-1，
∵x₀∈（-1，1），∴m∈（-2，0）．故③正确；
④若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x₀是它的一个均值点，
∴lnx₀=$\frac{lnb-lna}{b-a}$=$\frac{ln\frac{b}{a}}{b-a}$，则lnx₀-$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$=$\frac{ln\frac{b}{a}}{b-a}$-$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$．
令$\sqrt{\frac{b}{a}}$=t，则b=at²（t＞1），
∴$\frac{ln\frac{b}{a}}{b-a}$-$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$=$\frac{ln{t}^{2}}{a（{t}^{2}-1）}$-$\frac{1}{at}$=$\frac{1}{a}$（$\frac{ln{t}^{2}}{{t}^{2}-1}-\frac{1}{t}$）=$\frac{1}{a{t}^{2}（{t}^{2}-1）}$（2lnt-t+$\frac{1}{t}$），
令g（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$，则g′（t）=$\frac{2}{t}-1-\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{2t-{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$=$\frac{-（t-1）^{2}}{{t}^{2}}$＜0，
∴g（t）在（1，+∞）上是减函数，
∴g（t）＜g（1）=0，
∴$\frac{ln\frac{b}{a}}{b-a}$-$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$＜0，即lnx₀＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查新定义的应用，函数的导数以及分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力．