题目内容

已知函数 $数学公式$ ，证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．

证明：∵函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设 x₂＞x₁＞-1，
f（x₂）-f（x₁）= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
由 x₂＞x₁＞-1 可得，（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）＞0， $\text{[math]}$ ＞0，故f（x₂）-f（x₁）＞0，即 f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
分析：函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设 x₂＞x₁＞-1，化简f（x₂）-f（x₁）等于（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，大于零，即f（x₂）＞f（x₁），
从而可得函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
点评：本题主要考查增函数的定义，证明一个函数在某区间上是增函数的方法，属于基础题．

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例4、已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5．
①证明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．

已知函数f（x）=-

x2-2x，g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），其中a为常数．如果h（x）=f（x）+g（x）是增函数，且h′（x）存在零点（h′（x）为h（x）的导函数）．
（1）求a的值；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上两点，g′(x0) =

（g′（x）为g（x）的导函数），证明：x₁＜x₀＜x₂．

已知函数f(x)=

是定义在（-1，1）上的奇函数，其中a、b∈R且f(

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t²）＜0．

（2011•蓝山县模拟）已知函数f(x)=

bx2+cx（a＞0）．
（1）若函数f（x）有三个零点分别为x₁，x₂，x₃，且x₁+x₂+x₃=-3，x₁x₂=-9，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f′(1)=-

a，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；
（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于

的取值范围．

已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且f（3）=5，
（1）求f（1）+f（-1）的值；
（2）若f（x）为R上的增函数，证明：存在唯一的实数，使得对任意x∈（0，1），都有f（x²+2t²x）＜3成立．