Question

18．设函数f（x）=xlnx-（k-3）x+k-2，当x＞1时，f（x）＞0，则整数k的最大值是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由题意可得xlnx＞（k-3）x-k+2在x＞1时恒成立，即k＜$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$，令F（x）=$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$，求出导数，再令m（x）=x-lnx-2，求出导数，判断单调性，由m（3）＜0，m（4）＞0，求得m（x）的零点，判断符号，即可得到F（x）的最小值，即可得到k的范围，进而得到k的最大值．

解答 解：由已知得，xlnx＞（k-3）x-k+2在x＞1时恒成立，即k＜$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$，
令F（x）=$\frac{xlnx+3x-2}{x-1}$，则F′（x）=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$，
令m（x）=x-lnx-2，
则m′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0在x＞1时恒成立．
所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1-ln3＜0，m（4）=2-ln4＞0，
所以在（1，+∞）上存在唯一实数x₀∈（3，4）使m（x）=0，
所以F（x）在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
故F（x）_min=F（x₀）=$\frac{{x}_{0}ln{x}_{0}+3{x}_{0}-2}{{x}_{0}-1}$
=$\frac{{x}_{0}（{x}_{0}-2）+3{x}_{0}-2}{{x}_{0}-1}$=x₀+2∈（5，6）．
故k＜x₀+2（k∈Z），
所以k的最大值为5．
故选：C．

点评 本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用参数分离，转化为函数的最值问题，考查导数的运用：判断单调性，同时考查函数零点存在定理的运用，属于中档题．