Question

设f（x）＝ax3＋bx＋c为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′（x）的最小值为－12.

（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f（x）的单调递增区间，极大值和极小值，并求函数f（x）在[－1,3]上的最大值与最小值．

 

Answer 1

（1）a＝2，b＝－12，c＝0.；（2）函数的单调递增区间为（－∞，－），（，＋∞）．

的极大值为，极小值为又，所以当时，取得最小值为，当x＝3时取得最大值1.

【解析】

试题分析：利用导数的几何意义求曲线在点（1，f（1））处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.

试题解析：（1）∵为奇函数，∴．

即∴.∵的最小值为－12，∴.

又直线x－6y－7＝0的斜率为，因此，

故，，.

（2）f（x）＝2x3－12x，f′（x）＝6x2－12＝6（x＋）（x－），

列表如下

X	（－∞，－）	－	（－，）		（，＋∞）
f′（x）	＋	0	－	0	＋
f（x）		极大		极小

 

所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－），（，＋∞）．

f（x）的极大值为f（－）＝8，极小值为

f（）＝－8

又f（－1）＝10，f（3）＝18，所以当x＝时，f（x）取得最小值为－8，当x＝3时f（x）取得最大值1

考点：（1）由函数的性质求参量；（2）函数性质的应用 .