Question

12．已知α，β为锐角，tan$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{3}$，cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$．
（1）求sinα；
（2）求2α+β．

Answer 1

分析 （1）由已知利用二倍角的正切函数公式可求tanα，利用同角三角函数基本关系式结合α为锐角，即可求得sinα．
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），由（1）可求sinα，cosα，利用两角和的正弦函数公式可求sin（2α+β），结合范围2α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），可求2α+β=π．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵tan$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{3}$，
∴tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{3}{4}$，…2分
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sinα}{cosα}=\frac{3}{4}}\\{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α=1}\end{array}\right.$，解得：sin²α=$\frac{9}{25}$，…4分
又∵α为锐角，
∴sinα=$\frac{3}{5}$…6分
（2）∵α，β为锐角，cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$＜0．
∴α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{3}{5}$，…8分
又∵由（1）可知sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，…10分
∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=$\frac{3}{5}×（-\frac{4}{5}）$+$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}$=0，…12分
又∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴2α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），
∴2α+β=π…14分

点评 本题主要考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．