题目内容

3．已知在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若向量$\overrightarrow{m}$=（cosB，sinC），$\overrightarrow{n}$=（cosC，-sinB），且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求∠A的大小；
（2）若边a=$\sqrt{2}$且cosB=$\frac{3}{5}$，求△ABC的边c的大小．

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示，结合两角和的余弦公式，即可求得角A的值；
（2）由同角的平方关系，可得sinB，由两角和的正弦公式，可得sinC，运用正弦定理可得c的长．

解答 解：（1）由向量$\overrightarrow{m}$=（cosB，sinC），$\overrightarrow{n}$=（cosC，-sinB），
可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）
=-cosA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜A＜π，可得A=$\frac{π}{4}$；
（2）由cosB=$\frac{3}{5}$，可得sinB=$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$，
sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
在△ABC中，由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
可得c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}•\frac{7}{10}\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{7}{5}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，以及三角函数的化简和求值，考查正弦定理的运用，以及运算求解能力，属于中档题．

练习册系列答案
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