题目内容
设
(Ⅰ)
的图象关于原点对称，当
时，的极小值为
，求
的解析式。
(Ⅱ)若
，是
上的单调函数，求
的取值范围
【答案】
(Ⅰ) 
；(Ⅱ) 
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)由题意知，函数
是奇函数，利用奇函数的定义可求出
，由函数
在
处取得极小值为
，可得
，
，进而求出在
，一般地，多项式函数为奇函数，则偶次项系数为0，连续可导的函数在某点处取得极值，则该点处导数为0，但连续可导的函数在某点处导数为0，则该处不一定取得极值，所以用以上方法求出函数解析式后，还需进行验证；(Ⅱ)函数在某区间上是单调函数，则导函数在该区间上导数大于等于0恒成立，所以问题又转化为不等式恒成立问题，本题导函数是二次函数，其恒成立问题可用判别式判断，也可分离参数转化为最值问题.
试题解析：(Ⅰ)因为的图象关于原点对称，所以有即
， 1分
所以
，
所以，
所以
3分
由
， 依题意，
， 
，
解之，得
6分
经检验符合题意 7分
故所求函数的解析式为.
(Ⅱ)当
时，
，
，
因为是
上的单调函数，所以
恒成立，
即
恒成立 8分
即
成立，所以 12分
考点：奇函数、导数与单调性、极值.
练习册系列答案
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的图象关于直线x＝1对称，则a的值为
的图象关于直线
及直线
对称，且
时，
，则
（B）
（C）
（D）
的图象关于y轴对称，函数
（b为实数，c为正整数）有两个不同的极值点A、B,且A、B与坐标原点O共线：
时，函数g(x)的图象恒在函数f(x)图象的下方，求正整数c的值。
，
，设函数
的图象关于直线
对称，其中
，
为常数，且
. 
的最小正周期； 
的图象经过点
，求函数
上的取值范围.
的图象关于直线
及直线
对称，且
时，
，则
（ ）
B．
C．
D．