Question

   已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，

且， 为中点．

（1）证明：//平面；

（2）证明：平面平面；

（3）求二面角的正弦值．

           

Answer 1

解： （Ⅰ）

证明：连结BD交AC于点O，连结EO．                 

O为BD中点，E为PD中点，∴EO//PB．                                    

EO平面AEC，PB平面AEC，    ∴ PB//平面AEC．  

（Ⅱ）证明： PA⊥平面ABCD． 平面ABCD，∴．                                    

又在正方形ABCD中且，  

∴CD平面PAD，又平面PCD，

∴平面平面．                       

（Ⅲ）如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空

间直角坐标系．                                         

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为

A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),

D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ．

PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，

=（0, 0, 2）．设平面AEC的法向量为, ,

则  即

∴ 

∴  令,则.    ∴,           

二面角的正弦值为