Question

5．已知动点M到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l₁，l₂，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q．求证：直线PQ恒过一个定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P（x，y），由已知平面上动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，利用抛物线的定义，可求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P的坐标为（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）．同理可得点的坐标为（1+2k²，-2k），进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．

解答 （Ⅰ）解：设P（x，y），由已知平面上动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，
∴点P满足抛物线定义，点P的轨迹为焦点在x轴正半轴的抛物线，p=2，
∴点P的轨迹方程为y²=4x．　…（5分）
（Ⅱ）证明：设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则
由题意可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），
与抛物线方程，联立化简得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{4}{k}$．
所以点P的坐标为（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）．
由题知，直线l₂的斜率为-$\frac{1}{k}$，同理可得点的坐标为（1+2k²，-2k）．
当k≠±1时，有1+$\frac{2}{{k}^{2}}$≠1+2k²，此时直线PQ的斜率k_PQ=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$．
所以，直线PQ的方程为y+2k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-1-2k²），
整理得yk²+（x-3）k-y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；
当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）． …（12分）

点评 本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题的关键是直线与抛物线的联立，确定直线PQ的方程．