Question

1．如图所示，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，四边形ABEF是正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，点G，H分别为边CD，DA的中点，点M是线段BE上一动点．
（1）求证：GH⊥DM；
（2）求三棱锥D-MGH的体积的最大值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD交于点O，证明AC⊥BD，BE⊥AC，然后证明AC⊥平面BDE，证明AC∥GH，可得GH⊥DM．
（2）利用等体积法，要求三棱锥D-MGH的体积的最大值，只需求出线段BM的最大值，推出点M与点E重合，三棱锥D-MGH的体积的最大值．

解答 解：（1）连接AC，BD交于点O，
在正方形ABEF中，BE⊥AB，
又因为平面ABCD⊥平面ABEF且平面ABCD∩平面ABEF=AB，
则BE⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，所以BE⊥AC，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，又BD∩BE=B，于是AC⊥平面BDE，
又DM?平面BDE，于是AC⊥DM，
又点G，H分别为边CD，DA的中点，所以AC∥GH，故GH⊥DM．
（2）在菱形ABCD中，∠BAD=60°，
于是∠ADC=120°，
所以${S_{△DGH}}=\frac{1}{2}×DG×DH×sin∠ADC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
由（1）知BE⊥平面ABCD，
于是${V_{D-MGH}}={V_{M-DGH}}=\frac{1}{3}{S_{△DGH}}×BM=\frac{{\sqrt{3}}}{12}BM$，
要求三棱锥D-MGH的体积的最大值，只需求出线段BM的最大值，
又点M是线段BE上一动点，所以线段BM的最大值为2，此时点M与点E重合，
故三棱锥D-MGH的体积的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{12}×2=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
（其它解法参考给分）

点评 本题考查几何体的体积的最值，直线与平面垂直的判定定理以及想知道了的应用，考查空间想象能力以及计算能力．