Question

5．以下选项正确的是③④．
 ①方程y=kx+2可表示经过点（0，2）的所有直线
②过点P（3，-4），且截距相等的直线方程为x+y-1=0
③函数y=$\sqrt{{x^2}+1}$+$\sqrt{{x^2}-4x+13}$的最小值为2$\sqrt{5}$
④若直线m被两平行线l₁：x-y+1=0与l₂：x-y+3=0所截得的线段长为2$\sqrt{2}$，则m的倾斜角可以是15°或75°
⑤点P（4，-2）与圆x²+y²=4上任一点连线段的中点轨迹方程为（x-2）²+（y-1）²=1．

Answer 1

分析 根据斜截式的适用范围，可判断①；根据过原点的直线两截距也相等，可判断②；求出函数的最小值，可判断③；求出直线m的倾斜角，可判断④；求出轨迹方程，可判断⑤．

解答 解：①方程y=kx+2可表示经过点（0，2）且斜率存在的直线，不包括y轴，故错误；
②过点P（3，-4），且截距相等的直线方程为x+y-1=0，或4x+3y=0，故错误；
③函数y=$\sqrt{{x^2}+1}$+$\sqrt{{x^2}-4x+13}$表示动点P（x，0）到两定点A（0，1）和B（2，-3）的距离和，
当P落在AB与x轴的交点（$\frac{1}{2}$，0）处时，取最小值2$\sqrt{5}$，故正确；
④平行线l₁：x-y+1=0与l₂：x-y+3=0的倾斜角为45°，且距离为$\sqrt{2}$
若直线m被两平行线l₁：x-y+1=0与l₂：x-y+3=0所截得的线段长为2$\sqrt{2}$，
则m与l₁的夹角为30°，则m的倾斜角可以是15°或75°，故正确；
⑤点P（4，-2）与圆x²+y²=4上任一点连线段的中点M的坐标设为（x，y），
圆x²+y²=4上对应点设为（a，b），
则a=2x-4，b=2y+2，则（2x-4）²+（2y+2）²=4，
故M点的轨迹方程为（x-2）²+（y+1）²=1．故错误；
故答案为：③④．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线方程，直接的倾斜角，轨迹方程等知识点，难度中档．