Question

6．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）给出定义：设f′（x）是f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，则g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2015}{2016}$）+g（$\frac{2016}{2016}$）=$2017\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（$\frac{1}{2}$，1）对称，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到结论．

解答 解：函数的导数g′（x）=x²-x+3，
g″（x）=2x-1，
由g″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而g（$\frac{1}{2}$）=1，
故函数g（x）关于点（$\frac{1}{2}$，1）对称，
∴g（x）+g（1-x）=2，
则g（0）=-$\frac{5}{12}$，g（1）=2-g（0）=$\frac{29}{12}$，
故设g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2014}{2016}$）+g（$\frac{2015}{2016}$）=m，
则g（$\frac{2015}{2016}$）+g（$\frac{2014}{2016}$）+…+g（$\frac{2}{2016}$）+g（$\frac{1}{2016}$）=m，
两式相加得2×2015=2m，
则m=2015．
则g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2015}{2016}$）+g（$\frac{2016}{2016}$）=2015+$\frac{29}{12}$=$2017\frac{5}{12}$，
故答案为：$2017\frac{5}{12}$

点评 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．