题目内容
8．设函数f（x）=lnx-x+1．（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜$\frac{x-1}{lnx}$＜x；
（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c-1）x＞cx．
分析 （1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；
（2）由题意可得即证lnx＜x-1＜xlnx．运用（1）的单调性可得lnx＜x-1，设F（x）=xlnx-x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x-1＜xlnx成立；
（3）设G（x）=1+（c-1）x-cx，求出导数，可令G′（x）=0，由c＞1，x∈（0，1），可得1＜$\frac{c-1}{lnc}$＜c，由（1）可得cx=$\frac{c-1}{lnc}$恰有一解，设为x=x0是G（x）的最小值点，运用最值，结合不等式的性质，即可得证．
解答 解：（1）函数f（x）=lnx-x+1的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．
即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；
（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜$\frac{x-1}{lnx}$＜x，即为lnx＜x-1＜xlnx．
由（1）可得f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）递减，
可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x-1；
设F（x）=xlnx-x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx-1=lnx，
当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，
即有xlnx＞x-1，则原不等式成立；
（3）证明：设G（x）=1+（c-1）x-cx，G′（x）=c-1-cxlnc，
可令G′（x）=0，可得cx=$\frac{c-1}{lnc}$，
由c＞1，x∈（0，1），可得1＜cx＜c，即1＜$\frac{c-1}{lnc}$＜c，
由（1）可得cx=$\frac{c-1}{lnc}$恰有一解，设为x=x0是G（x）的最大值点，且0＜x0＜1，
由G（0）=G（1）=0，且G（x）在（0，x0）递增，在（x0，1）递减，
可得G（x0）=1+（c-1）x0-cx0＞0成立，
则c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c-1）x＞cx．
点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．
