Question

8．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$与椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦点；
②在平面内，设A，B为两个定点，P为动点，且|PA|+|PB|=k，其中常数k为正实数，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-x+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线离心率；
④过双曲线${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的右焦点F作直线l交双曲线与A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有3条．
其中真命题的序号为①④．

Answer 1

分析 根据双曲线、椭圆标准方程判断①；根据椭圆的定义判断②；根据椭圆和双曲线的离心率的范围判断③；过右焦点的直线与双曲线交于两点可分为两种情况，一种是两点都在右支上，一种是与左右两支各有一交点，分别确定两种情况各有几条直线满足条件即可判断④

解答 解：对于①：双曲线c²=a²+b²=25，椭圆c²=a²-b²=25，双曲线与椭圆的焦点坐标都是（±5，0），故①正确；
对于②：根据椭圆定义，只有k＞|AB|时，动点P的轨迹才是椭圆，故②不正确；
对于③：方程2x²-x+1=0的两根${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=1$，而双曲线的离心率e＞1，故③不正确；
对于④：过右焦点的直线与双曲线交于两点可分为两种情况，一种是两点都在右支上，一种是与左右两支各有一交点．
由双曲线的方程可知，a=1，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，故双曲线的实轴长2a=2，则与双曲线相交于左右两支，且|AB|=4的直线有2条；
若直线l过右焦点且垂直于x轴时，直线l的方程为x=$\sqrt{3}$，A（$\sqrt{3}$，-2），B（$\sqrt{3}$，2），则|AB|=4，故与右支有两个交点时，直线只有一条．
综上可知，满足条件的直线共有3条，故④正确
故答案为：①④

点评 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，考查椭圆和双曲线的定义、标准方程、离心率及过焦点弦长问题，解题时要准确理解概念，一些常见的结论需要牢记，只有这样解题时才能快速准确．