Question

9．已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），图象关于y轴对称，且当x＜0时，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，设a＞1，则实数P=$\frac{{4af（{a+1}）}}{a+1}$，M=2$\sqrt{a}f（{2\sqrt{a}}）$，$N=（{a+1}）f（{\frac{4a}{a+1}}）$的大小关系为（　　）

• A． P＜M＜N
• B． P＞M＞N
• C． M＜P＜N
• D． M＞P＞N

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0），依题意，可知g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0）为奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递减；而P=4a•g（a+1），M=4a•g（2$\sqrt{a}$），N=4a•g（$\frac{4a}{a+1}$），再由a+1＞2$\sqrt{a}$＞$\frac{4a}{a+1}$＞0，即可求得答案．

解答 解：∵x＜0时，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，
∴x＜0时，xf′（x）-f（x）＜0恒成立①，
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0），
又函数f（x）为定义域上的偶函数（图象关于y轴对称），y=x为奇函数，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0）为奇函数；
又g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
由①知，当x＜0时，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0）在区间（-∞，0）上单调递减，
∴奇函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0）在区间（0，+∞）上单调递减；
又当a＞1时，P=$\frac{{4af（{a+1}）}}{a+1}$=4a•$\frac{f（a+1）}{a+1}$=4a•g（a+1），
M=2$\sqrt{a}f（{2\sqrt{a}}）$=4a•$\frac{f（2\sqrt{a}）}{2\sqrt{a}}$=4a•g（2$\sqrt{a}$），
$N=（{a+1}）f（{\frac{4a}{a+1}}）$=4a•$\frac{f（\frac{4a}{a+1}）}{\frac{4a}{a+1}}$=4a•g（$\frac{4a}{a+1}$），
∵a＞1，∴a+1＞2$\sqrt{a}$，
∴$\frac{2\sqrt{a}}{a+1}$＜1，
∴$\frac{4a}{a+1}$＜2$\sqrt{a}$，
即a+1＞2$\sqrt{a}$＞$\frac{4a}{a+1}$＞0，
∴g（a+1）＜g（2$\sqrt{a}$）＜g（$\frac{4a}{a+1}$），
∴4ag（a+1）＜4ag（2$\sqrt{a}$）＜4ag（$\frac{4a}{a+1}$），即P＜M＜N．
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立问题，令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0），观察得到P=4a•g（a+1），M=4a•g（2$\sqrt{a}$），N=4a•g（$\frac{4a}{a+1}$）是关键，也是难点，考查构造函数思想与等价转化思想，属于难题．