Question

19．定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x-2）=f（x+2），且x∈（-1，0）时，f（x）=2^x，则f（log₂20）=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{4}{5}$
• C． -1
• D． -$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 根据对数函数的单调性，我们易判断出log₂20∈（4，5），结合已知中f（-x）=-f（x），f（x-2）=f（x+2）且x∈（-1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log₂20）的值．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数
又∵f（x-2）=f（x+2）
∴函数f（x）为周期为4是周期函数
又∵log₂32＞log₂20＞log₂16
∴4＜log₂20＜5
∴f（log₂20）=f（log₂20-4）=f（log₂ $\frac{5}{4}$）=-f（-log₂ $\frac{5}{4}$）
又∵x∈（-1，0）时，f（x）=2^x，
∴f（-log₂ $\frac{5}{4}$）=$\frac{4}{5}$
故f（log₂20）=-$\frac{4}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性，其中根据已知中f（-x）=-f（x），f（x-2）=f（x+2）判断函数的奇偶性，并求出函数的周期是解答醒的关键，属中档题．