Question

13．在△ABC中，（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B；
（2）若$b=\sqrt{19}，a-c=3$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得：2sinAcosB=sinA，结合A为三角形内角，解得cosB，由B为三角形内角，可得B的值；
（2）由余弦定理可得：b²=（a-c）²+2ac-2accosB，得ac=10，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC．
∴由正弦定理可得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，整理可得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
∵A为三角形内角，sinA≠0，
∴解得：cosB=$\frac{1}{2}$，
∴由B为三角形内角，可得：B=60°；
（2）∵$b=\sqrt{19}，a-c=3$，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a-c）²+2ac-2accosB，得ac=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和是正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．