Question

13．向量$\overrightarrow{a}$=（-1，1），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$方向相同，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的取值范围是（　　）

• A． （-1，1）
• B． （-1，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 由题意，存在实数λ＞0，使得$\overrightarrow{a}$=λ（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$），得到$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1-λ}{λ}$，再结合λ＞0，求得它的范围．

解答 解：$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$方向相同，则存在实数λ＞0，使得$\overrightarrow{a}$=λ（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$），
即（1-λ）$\overrightarrow{a}$=2λ$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{b}$=$\frac{1-λ}{2λ}$$\overrightarrow{a}$，
∵$\overrightarrow{a}$=（-1，1），
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=2
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$•$\frac{1-λ}{2λ}$=$\frac{1-λ}{λ}$
∵λ＞0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞-1，
故选：B

点评 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及平行向量，两个向量，方向相同，我们可以判断存在实数λ＞0使得$\overrightarrow{a}$=λ（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$），然后根据已知条件，将条件中的等量（不等）关系转化为方程（不等式），解方程（不等式）即可求得答案．