Question

2．已知O（0，0），A（2，-1），B（1，2）．
（1）求△OAB的面积；
（2）若点C满足直线BC⊥AB，且AC∥OB，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）由两点之间的距离公式求出|OA、|OB|，由向量的坐标运算、数量积运算得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，判断出OA⊥OB，由三角形的面积公式求出△OAB的面积；
（2）点C的坐标为（x，y），由向量的坐标运算求出$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$，根据条件、向量垂直和平行的坐标条件列出方程组，求出x，y的值，可得点C的坐标．

解答 解：（1）由题意得，|OA|=|OB|=$\sqrt{5}$，
∵$\overrightarrow{OA}$=（2，-1），$\overrightarrow{OB}$=（1，2），$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∴OA⊥OB，则△OAB的面积S=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{5}{2}$；
（2）设点C的坐标为（x，y），
则$\overrightarrow{BC}$=（x-1，y-2），$\overrightarrow{AC}$=（x-2，y+1），且$\overrightarrow{AB}$=（-1，3），
∵直线BC⊥AB，且AC∥OB，
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{OB}$，则$\left\{\begin{array}{l}{-（x-1）+3（y-2）=0}\\{2（x-2）-（y+1）=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（4，3）．

点评 本题考查向量的坐标运算、数量积运算，向量垂直和平行的坐标条件，以及方程思想，属于基础题．