Question

19．已知z是复数，若z+i为实数，z-2为纯虚数．
（1）求复数z
（2）求|$\frac{{z}^{2}-z}{1+i}$|

Answer 1

分析 （1）设z=x+yi  （x，y∈R），z+i=x+（y+1）i为实数，得到虚部等于0，即可求出y的值，又已知z-2=（x-2）-i为纯虚数，得到实部等于0，即可求出x的值，则复数z可求．
（2）把复数z=2-i代入$\frac{{z}^{2}-z}{1+i}$，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数求模公式计算得答案．

解答 解：（1）设z=x+yi  （x，y∈R），
∵z+i=x+（y+1）i为实数，
∴y+1=0，即y=-1．
又∵z-2=（x-2）-i为纯虚数，
∴x-2=0，即x=2．
∴z=2-i．
（2）∵$\frac{{z}^{2}-z}{1+i}=\frac{（2-i）^{2}-（2-i）}{1+i}$
=$\frac{1-3i}{1+i}=\frac{（1-3i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}=\frac{-2-4i}{2}$=-1-2i，
∴$|\frac{{z}^{2}-z}{1+i}|=|-1-2i|=\sqrt{（-1）^{2}+（-2）^{2}}=\sqrt{5}$．

点评 本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数模的求法，是基础题．