Question

20．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE，CG=$\frac{1}{2}$DE．
（1）证明：面GEF⊥面AEF；
（2）求二面角B-EG-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设EF中点为M，连结AM，GM，AG，AC，设CG=1，求出AG=3，FG=EG=$\sqrt{5}$，AF=AE=2$\sqrt{2}$，AM=$\sqrt{6}$，GM=$\sqrt{3}$，从而AM⊥GM，再求出AM⊥EF，由此能证明平面GEF⊥平面AEF．
（2）如图，延长EG、DC，设交点为H，作CN⊥GH，垂足为N，连结BN，推导出∠BNC是二面角B-EG-C的平面角，由此能求出二面角B-EG-C的余弦值．

解答 证明：（1）如图，设EF中点为M，连结AM，GM，AG，AC，设CG=1
∵CG⊥面ABCD，∴CG⊥AC，
在Rt△ACG中，AG=$\sqrt{A{C}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}$=3，
在直角梯形FBCG和EDCG中，FG=EG=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△ABF和Rt△GEF中，AF=AE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在等腰△AEF中，AM=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
在等腰△GEF中，GM=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴在△AMG中，AM²+GM²=AG²，∴AM⊥GM，
∵M是等腰△AEF底边中点，∴AM⊥EF，
∵GM∩EF=M，∴AM⊥平面GEF，
∵AM?平面GEF，∴平面GEF⊥平面AEF．
解：（2）如图，延长EG、DC，设交点为H，
作CN⊥GH，垂足为N，连结BN，
∵BC⊥CG，BC⊥DC，CG∩DC=C，∴BC⊥面EDH，
∵BC⊥EH，又CN⊥GH，即CN⊥EH，
∵BC∩CN=C，∴EH⊥平面BCN，
∵BC⊥DH，BC⊥EH，DH∩EH=H，∴BC⊥平面EDH，
∴BC⊥EH，又EG⊥GH，∴EG⊥平面BCN，∴EG⊥BN，
∴∠BNC是二面角B-EG-C的平面角，
∵CG=1，∴CN=$\frac{CG×CH}{GH}$=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴在Rt△BCN中，BN=$\sqrt{B{C}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
∴cos∠CNB=$\frac{CN}{BN}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{30}}{5}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角B-EG-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．