Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，AA₁=AB=2．
（1）求证：平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（3）求三棱锥D-BC₁C的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得BD⊥AC，BD⊥AA₁，由此能证明平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁．
（2）连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，则OD∥AB₁．由此能证明AB₁∥平面BC₁D．
（3）由VD-BC1C=VC1-BDC，利用等积法能求出三棱锥D-BC₁C的体积．

解答： （1）证明：∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∵侧棱AA₁⊥底面ABC，BD?平面ABC，
∴BD⊥AA₁，
又AC∩AA₁=A，∴BD⊥平面A₁ACC₁，
又BD?平面C₁BD，∴平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁．
（2）证明：连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，
∴点O为B₁C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB₁C的中位线，
∴OD∥AB₁．
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．
（3）解：∵侧棱AA₁⊥底面ABC，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，AA₁=AB=2，
∴BD=

4-1

=

3

，S_△BDC=

1

2

×BD×CD=

1

2

×

3

×1=

3

2

，
∴VD-BC1C=VC1-BDC=

1

3

×CC1×S△BDC=

1

3

×2×

3

2

=

3

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．