Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，CA=2，D是CC₁的中点，试问在线段A₁B上是否存在一点E（不与端点重合），使得点A₁到平面AED的距离为

2 6

3

？

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：计算题,存在型,向量法,空间位置关系与距离

分析：以C为坐标原点，CA，CB，CC₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A₁，A，D的坐标，及向量AD，AE，A₁A的坐标，假设在线段A₁B上存在一点E（不与端点重合），使得点A₁到平面AED的距离为

2 6

3

．设平面AED的法向量为

n

=（x，y，z），运用向量垂直的条件，得到方程，求得一个法向量，点A₁到平面AED的距离可看作

A1A

在

n

上投影的绝对值，运用数量积的坐标表示和向量的模的公式列出方程，解方程即可判断．

解答： 解：以C为坐标原点，CA，CB，CC₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A₁（2，0，2），A（2，0，0），D（0，0，1），
假设在线段A₁B上存在一点E（不与端点重合），使得点A₁到平面AED的距离为

2 6

3

．
可设BE=m，则E（

1

2

m，2-

1

2

m，

2

2

m），

AD

=（-2，0，1），

AE

=（

1

2

m-2，2-

1

2

m，

2

2

m），

A1A

=（0，0，-2），
设平面AED的法向量为

n

=（x，y，z），
则由

n

⊥

AD

，得

n

•

AD

=0，即有-2x+z=0①

n

⊥

AE

，得

n

•

AE

=0，即有（

1

2

m-2）x+（2-

1

2

m）y+

2

2

mz=0②
由①②可取

n

=（1，

2 2 m

m-4

+1，2），
则

n

•

A1A

=-4，由于点A₁到平面AED的距离可看作

A1A

在

n

上投影的绝对值，
则为|

n • A1A

| n |

|=

4

1+( 2 2 m m-4 +1)2+4

=

2 6

3

，
解得，m=4（

2

-1）＜2

2

，成立．
则在线段A₁B上存在一点E（不与端点重合），且BE=4（

2

-1），
使得点A₁到平面AED的距离为

2 6

3

．

点评：本题考查空间点到平面的距离的求法，考查运用法向量和向量投影的知识解决问题，考查运算能力，属于中档题．