Question

20．圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧$\widehat{BD}$于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．
（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD；
（Ⅱ）若二面角C-AB-D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）利用中位线定理和圆的性质分别证明OF∥AC，OG∥AD，故而得出平面OGF∥平面CAD；
（II）连结DG，则可证四边形OADG是菱形，OC⊥平面ABD，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面BCD的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{FG}$的坐标，则直线FG与平面BCD所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{FG}，\overrightarrow{n}$＞|．

解答 证明：（Ⅰ）∵OF为△ABC的一条中位线
∴OF∥AC，又OF?平面ACD，AC?平面ACD，
∴OF∥平面ACD．
又∵OG为∠DOB的平分线，∴OG⊥BD，
∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，
∴OG∥AD，又OG?平面ACD，AD?平面ACD，
∴OG∥平面ACD，
又∵OG，OF为平面OGF内的两条相交直线，
∴平面OGF∥平面CAD
（Ⅱ）∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，
∵平面CAB⊥平面DAB，平面CAB∩平面DAB=AB，OC?平面ABC，
∴CO⊥平面DAB，
又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1，又OG∥AD，OG=1，OA=1，
∴四边形ADGO为菱形，∠AOG=120°，
设DG中点为M，则∠AOM=90°，即OM⊥OB，
∴直线OM，OB，OC两两垂直，
以O为原点，以OM，OB，OC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
则B（0，1，0），C（0，0，1），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}，0）$，G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}，0）$，F（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∴$\overrightarrow{FG}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$0，-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{BC}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0）．
设平面BCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0，\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-y+z=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{3}{2}y=0}\end{array}\right.$，令y=1，$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1）．
∴$\overrightarrow{FG}•\overrightarrow{n}$=1，|$\overrightarrow{FG}$|=1，$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{5}$．
∴$cos＜\overrightarrow{FG}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{FG•}\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{FG}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴直线FG与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了面面平行的判定，空间角的计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．