Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=4n-2（n≥2，n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁+3b₂+7b₃+…+（2ⁿ-1）b_n=a_n（n≥1，n∈N^*），且设S_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：S_n＜$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得（a_n-2n）+（a_n-1-2（n-1））=0，记c_n=a_n-2n，则c_n+c_n-1=0，c₁=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由b₁+3b₂+7b₃+…+（2ⁿ-1）b_n=a_n，得b₁+3b₂+7b₃+…+（2^n-1-1）b_n-1=a_n-1，从而得b_n=$\frac{2}{{2}^{n}-1}$≤$\frac{3}{{2}^{n}}$，由此能证明S_n＜$\frac{7}{2}$．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=4n-2（n≥2，n∈N^*），
∴（a_n-2n）+（a_n-1-2（n-1））=0，
记c_n=a_n-2n，则c_n+c_n-1=0，c₁=0，
∴c_n=0，
∴a_n=2n．
证明：（2）∵数列{b_n}满足b₁+3b₂+7b₃+…+（2ⁿ-1）b_n=a_n（n≥1，n∈N^*），
∴b₁+3b₂+7b₃+…+（2^n-1-1）b_n-1=a_n-1，（n≥2），
∴（2ⁿ-1）b_n=a_n-a_n-1=2，
解得b_n=$\frac{2}{{2}^{n}-1}$≤$\frac{3}{{2}^{n}}$，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
≤2+$\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{3}{{2}^{n}}$
=2+3×$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{7}{2}-\frac{3}{{2}^{n}}$$＜\frac{7}{2}$．
∴S_n＜$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．