Question

11．若数列{a_n}，{b_n}的通项公式分别为a_n=（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁶•a，b_n=2+$\frac{{{{（-1）}^{n+2017}}}}{n}$，且a_n＜b_n，对任意n∈N^*恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[-1，\frac{1}{2}）$
• B． [-1，1）
• C． [-2，1）
• D． $[-2，\frac{3}{2}）$

Answer 1

分析 由a_n=（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁶•a，b_n=2+$\frac{{{{（-1）}^{n+2017}}}}{n}$，且a_n＜b_n，对任意n∈N^*恒成立，可得：（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁶•a＜2+$\frac{{{{（-1）}^{n+2017}}}}{n}$，对n分类讨论即可得出．

解答 解：a_n=（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁶•a，b_n=2+$\frac{{{{（-1）}^{n+2017}}}}{n}$，且a_n＜b_n，对任意n∈N^*恒成立，
∴（-1）ⁿ⁺²⁰¹⁶•a＜2+$\frac{{{{（-1）}^{n+2017}}}}{n}$，
n为偶数时：化为a＜2-$\frac{1}{n}$，则a＜$\frac{3}{2}$．
n为奇数时：化为-a＜2+$\frac{1}{n}$，则a≥-2．
则实数a的取值范围是$[-2，\frac{3}{2}）$．
故选：D

点评 本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．