Question

5．双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的焦点是F₁、F₂，且点P是双曲线上的一点，若∠F₁PF₂=60°，求三角形F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 利用双曲线方程中系数的几何意义得到||PF₁|-|PF₂||=6①，结合余弦定理推知即${|{P{F_1}}|^2}+{|{P{F_2}}|^2}-|{P{F_1}}||{P{F_2}}|=100$②，根据①²-②得|PF₁||PF₂|=64．所以由三角形的面积公式进行解答即可．

解答 解：由题意得a=3，b=4，
∴c²=a²+b²=25，
∴c=5，
∵||PF₁|-|PF₂||=6，①
又${|{{F_1}{F_2}}|^2}={|{P{F_1}}|^2}+{|{P{F_2}}|^2}-2|{P{F_1}}||{P{F_2}}|COS∠{F_1}P{F_2}$，
即${|{P{F_1}}|^2}+{|{P{F_2}}|^2}-|{P{F_1}}||{P{F_2}}|=100$，②
由①²-②得|PF₁||PF₂|=64．
∴${S_{△{F_1}P{F_2}}}=\frac{1}{2}|{P{F_1}}||{P{F_2}}|sin∠{F_1}P{F_2}=\frac{1}{2}×64×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=16\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用，求出|PF₁||PF₂|的值，是解题的关键．