Question

3．在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足$\frac{cosA}{cosC}$=-$\frac{a}{2b+c}$
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理进行化简即可求角A的大小；
（2）由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2$\sqrt{3}$．化为a+b+c=3+$2\sqrt{3}（sinB+sinC）$=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$+C），再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{cosA}{cosC}$=-$\frac{a}{2b+c}$
∴$\frac{cosA}{cosC}$=-$\frac{a}{2b+c}$=-$\frac{sinA}{2sinB+sinC}$，
即2sinBcosA+cosAsinC=-sinAcosC，
即2sinBcosA=-（sinAcosC+cosAsinC）=-sin（A+C）=-sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，即A=$\frac{2π}{3}$；
（2）由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{a+b+c}{\frac{\sqrt{3}}{2}+sinB+sinC}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴a+b+c=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sin（$\frac{π}{3}$-C）+sinC]
=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$+C），
∵0＜C＜$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜C+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（C+$\frac{π}{3}$）≤1，
2＜$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$+C）≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则4＜2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{π}{3}$+C）≤2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
即4＜a+b+c≤2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴△ABC的周长的取值范围是（4，2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．