已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左顶点为A.上顶点为B.直线AB的斜率为$\frac{\sqrt{6}}{6}$.坐标原点O到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{42}}{7}$．(I)求椭圆C的标准方程,(Ⅱ)设圆O:x2+y2=b2的切线l与椭圆C交于点P.Q.线段PQ的中点为M.求直线l的方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，直线AB的斜率为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，坐标原点O到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{42}}{7}$．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设圆O：x²+y²=b²的切线l与椭圆C交于点P，Q，线段PQ的中点为M，求直线l的方程，使得l与直线0M的夹角达到最小．

分析（I）由题意可得A（-a，0），B（0，b），求得AB的斜率和方程，运用点到直线的距离公式解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）讨论当直线l的斜率不存在和为0，不为0，设出直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程可得（1+6k²）x²+12ktx+6t²-6=0，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线的夹角公式，结合基本不等式，可得最小值，由直线和圆相切的条件：d=r，进而得到直线方程．

解答解：（I）由题意可得A（-a，0），B（0，b），
k_AB=$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{6}}{6}$x+b，
由题意可得$\frac{b}{\sqrt{1+\frac{1}{6}}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$，
解得b=1，a=$\sqrt{6}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+y²=1；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，即有OM⊥l，夹角为90°；
当直线l的斜率为0时，不符合题意；
设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程可得
（1+6k²）x²+12ktx+6t²-6=0，
可得x₁+x₂=-$\frac{12kt}{1+6{k}^{2}}$，
可得中点M（-$\frac{6kt}{1+6{k}^{2}}$，$\frac{t}{1+6{k}^{2}}$），
又直线l与圆x²+y²=1相切，可得
$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即1+k²=t²，
可得OM的斜率为k'=-$\frac{1}{6k}$，
直线l和OM的夹角的正切为、$\frac{-\frac{1}{6k}-k}{1-\frac{1}{6k}•k}$|=$\frac{6}{5}$|-k-$\frac{1}{6k}$|，
当k＜0时，-k-$\frac{1}{6k}$≥2$\sqrt{（-k）•（-\frac{1}{6k}）}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
当k=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$时，夹角取得最小值．
求得t²=$\frac{7}{6}$，解得t=±$\frac{\sqrt{42}}{6}$，
可得直线l的方程为y═-$\frac{\sqrt{6}}{6}$x±$\frac{\sqrt{42}}{6}$，
当k＞0时，可得k=$\frac{\sqrt{6}}{6}$时，夹角取得最小值．
求得t²=$\frac{7}{6}$，解得t=±$\frac{\sqrt{42}}{6}$，
可得直线l的方程为y═±$\frac{\sqrt{6}}{6}$x±$\frac{\sqrt{42}}{6}$，
使得l与直线0M的夹角达到最小．