Question

2．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．

（1）若Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ；
（2）若PB=PD，求证：BD⊥CQ．

Answer 1

分析 （1）设AC交BD于点O，连结OQ，证明OQ∥PC．即可利用直线与平面平行的判定定理证明PC∥平面BDQ．
（2）连结OP．说明BD⊥AC，BD⊥PO，然后证明BD⊥平面PAC，即可证明BD⊥CQ．

解答 证明：（1）设AC交BD于点O，连结OQ．（1分）
因为 底面ABCD为菱形，
所以 O为AC中点．
因为 Q是PA的中点，
所以 OQ∥PC．（4分）
因为 OQ?平面BDQ，PC?平面BDQ，
所以PC∥平面BDQ．（5分）
（2）连结OP．（6分）
因为 底面ABCD为菱形，
所以 BD⊥AC，O为BD中点．（8分）
因为 PB=PD，
所以 BD⊥PO．（10分）
又因为：AO∩AC=0，
所以 BD⊥平面PAC．（11分）
因为 CQ?平面PAC，
所以BD⊥CQ．（14分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．