Question

甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约．甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响．已知至少有1人面试合格概率为．
（1）求P．  
（2）求签约人数ξ的分布列和数学期望值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由至少有1人面试合格概率，利用对立事件的概率求出3人均不合格的概率，再由相互独立事件同时发生的概率列式求解；
（2）由题意可知签约人数ξ的取值分别是0，1，2，3，求出每种情况的概率，直接利用期望公式求期望．
解答：解：（1）至少1人面试合格概率为（包括1人合格 2人合格和3人都合格），这样都不合格的概率为1-=．
所以（1-P）³=，即P=．
（2）签约人数ξ取值为0、1、2、3
签约人数为0的概率：都不合格（1-）³=，
甲不合格，乙丙至少一人不合格×（1-×）-（1-）³=，
签约人数为0的概率：+=；
签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：×（1-×）=；
签约人数为2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：××（1-）=；
签约人数为3的概率：甲乙丙均合格：（）³=．
分布表：

签约人数		1	2	3
概率

数学期望：Eξ==1．
点评：本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了离散型随机变量的分布列与期望，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，是中档题．